Триъгълникът на Паскал и правомощията на 11

Т

И така, първо, къде могат да бъдат намерени степента на 11 в триъгълника на Паскал? Ако разгледаме първия ред от триъгълника на Паскал, той е 1,1. Ще интерпретираме това като 11. Вторият ред е 1,2,1, който ще наречем 121, което е 11×11 или 11 на квадрат. Преминавайки надолу към третия ред, получаваме 1331, което е 11x11x11, или 11 кубчета. И от четвъртия ред получаваме 14641, което е 11x11x11x11 или 11 ^ 4. Тази информация е обобщена в диаграмата по-долу:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

11 = 11 ^ 1

121 = 11 ^ 2

1331 = 11 ^ 3

14641 = 11 ^ 4

Но какво правим от ред 5 нататък? Ред 5 е 1,5,10,10,5,1, но ако имате калкулатор, можете да проверите дали 11 ^ 5 е 161051, а не 15101051. Моделът изглежда спира да работи. Всъщност обаче можем да го приложим към редове 5 и нагоре, тъй като можем да тълкуваме 1,5,10,10,5,1 като 161051.

Първо, трябва да разберем защо моделът изглежда е спрял да работи – тогава има шанс да разрешим нещата. Причината е, че в ред 5 изведнъж имаме двуцифрени числа (10-те). По-лесно е, ако мислим за числата от триъгълника на Паскал, които се вписват в интервали. В ред 5 смачкваме две цифри в едно и също пространство.

за да разберем как да тълкуваме 1,5,10,10,5,1, трябва да помислим какво точно сме правили досега. Когато видяхме 1,2,1, например поставихме първото 1 в колоната стотици да означава 100, двете в колоната десетки да означават 20 и последното 1 в колоната единици да означава 1. Сега можем да видим че когато получите 10 инча, например колона стотици, това всъщност означава 10x 100 = 1000. С други думи, просто третирате десетката като “0 носи 1”, както когато правите добавена сума. Това е показано за 1,5,10,10,5,1 по-долу:

1 5 0 0 5 1

+ 1 1 тези 1 са пренесени от 10

= 1 6 1 0 5 1

Изумително, следователно, можем бързо да изчислим всяка степен на 11, използвайки триъгълника на Паскал. Това може да помогне от време на време, ако някога се наложи бързо да изчислите мощност от 11. Забавлението обаче не спира до тук: чрез модифициране на триъгълника на Паскал можем бързо да изчислим произволно число, умножено по степен 11. Например, бихме могли да изчислим 241 х 11 ^ 2. Всичко, което правим, е да започнем с 2,4,1 като наш първи ред. Тъй като се опитваме да умножим по 11 ^ 2, трябва да изчислим още 2 реда на триъгълника на Паскал от този първоначален ред. За това използваме правилата за добавяне на двата термина по-горе, точно както в самия триъгълник на Паскал. Това е показано по-долу:

2,4,1

2,6,5,1

2,8,11,6,1

2 8 1 6 1

… 1

2 9 1 6 1

Това е чудесен начин за бързо изчисляване на суми, включващи умножаване по 11, така че дори ако никога не сте били добри в аритметиката, изпробвайте това на вашите приятели или семейство и ги впечатлете с вашите изчисления на скоростта на мълнията!

За да покажем защо това работи, нека вземем числото abcd, (където a, b, c и d са цифри от 0 до 9) и го умножим по 11. Можем да разделим това умножение на два бита, както е показано на диаграмата по-долу :

abcd x 11 = abcd x 10 + abcd x 1

Когато умножавате число по 10, просто добавяте 0 в края му, така че abcd x 10 е същото като abcd0. Сега можем да добавим това към abcd x 1:

abcd 0

+. abcd

Това дава отговор на a (+0) b + a c + b d + c 0 + d. Това може да изглежда тромаво, но изчакайте за минута! Той е абсолютно същият като сумите от триъгълника на Паскал! Можете да проверите това, като използвате следващата диаграма.

… а … б … в … г

(0+) a a + b b + c c + dd (+0)

= a (+0) b + a c + b d + c 0 + d

Подобен процес може да се приложи за произволен брой цифри. Следователно можем да разберем защо този умен малък трик работи, въпреки че това го прави не по-малко зрелищен и все пак си струва да изпробвате приятелите си!

About the author

By user

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Categories

Meta